درباره فرمول بحث‌برانگیز محاسبه هزینه تسهیلات بانکی
تصور کنید که به یک شعبه بانک مراجعه کرده‌اید و یک وام ۵۰میلیون ریالی با نرخ بهره ۱۵درصد، پنج ساله دریافت کرده‌اید، سپس همان مبلغ را در همان شعبه با همان نرخ و همان تعداد سال، سپرده‌گذاری کرده‌اید. اگر از این معامله به ظاهر بی‌حاصل نتیجه مالی و عایدی مثبتی حاصل شود چه فکری می‌کنید؟
تصور کنید که به یک شعبه بانک مراجعه کرده‌اید و یک وام ۵۰میلیون ریالی با نرخ بهره ۱۵درصد، پنج ساله دریافت کرده‌اید، سپس همان مبلغ را در همان شعبه با همان نرخ و همان تعداد سال، سپرده‌گذاری کرده‌اید. اگر از این معامله به ظاهر بی‌حاصل نتیجه مالی و عایدی مثبتی حاصل شود چه فکری می‌کنید؟
آیا تصور نمی‌کنید که اشکالی در کار وجود دارد؟
دقیقا این مشکلی است که در نظام بانکی ما به دلیل وجود دو فرمول مختلف محاسبه (یکی برای وام و یکی برای سپرده‌ها) وجود داشته است. و دقیقا رفع همین مشکل بوده است که موضوع اختلاف نظر بین بانک‌های خصوصی که می‌خواهند مشکل را از سر راه بردارند و بعضی مقامات پولی قرار گرفته است. در این نوشته وجوه مختلف این مشکل مورد بررسی قرار می‌گیرد. سال‌ها است که در ایران، فرمول متداول برای محاسبه سود وام‌های بانکی عادی عبارت است از:
حال به مساله ابتدایی بحث باز می‌گردیم: شخصی مبلغ پنجاه‌میلیون ریال با نرخ بهره 15درصد، وام پنج ساله دریافت کرده است. با استفاده از رابطه فوق، سود کل عبارت است از:
با افزودن این مبلغ به اصل وام، بانک در طول ۵ سال یاد شده مبلغ ۶۹۰۶۲۵۰۰ریال دریافت می‌کند. این بار فرض کنیم بانک قصد گرفتن چنین وامی با همین شرایط از سپرده‌گذاران خود دارد. به این منظور، یک سپرده پنج ساله پنجاه‌میلیون ریالی با نرخ بهره ۱۵درصد را در نظر می‌گیریم. می‌توان محاسبه کرد که بانک طی پنج سال چه مبلغی را به عنوان اصل و سود، بازپرداخت می‌کند.
که با افزودن سود به اصل، مبلغ 87500000ریال به دست می‌آید. بنابراین مبلغی که بانک بابت تسهیلات اعطایی خود به افراد دریافت می‌کند، به مراتب کمتر از مبلغی است که خود، در شرایط مساوی به سپرده‌گذاران پرداخت می‌نماید. حتی اگر این ایراد وارد شود که نرخ تسهیلات اعطایی در بانک‌ها، اغلب بیشتر از نرخ سپرده‌های بلندمدت است، می‌توان نشان داد که حالت‌های کاملا واقعی نیز حاکی از متضرر شدن بانک در این محاسبه می‌باشند:
فرض کنید شخصی پنجاه‌میلیون ریال از بانکی با نرخ بهره ۱۶درصد به صورت پنج ساله وام گرفته و مبلغ وام را در یک حساب سپرده بلندمدت پنج‌ساله با نرخ بهره ۱۴درصد سپرده‌گذاری کرده و سود آن را هر ماه به حساب کوتاه‌مدت خود با نرخ بهره ۷درصد واریز می‌کند. کل مبلغی که شخص بابت وام خود باید به بانک باز پس دهد عبارت است از سود و اصل وام:
حال سرمایه تشکیل شده در حساب شخص را محاسبه می‌کنیم:
موجودی حساب کوتاه‌مدت شخص عبارت خواهد بود از:
که با افزودن آن به موجودی حساب بلندمدت از اصل و سود وام بیشتر است. حتی در مثال جالب زیر می‌توان دید که در وام‌های طویل‌المدت مانند وام مسکن، می‌توان با سپرده‌گذاری بلندمدت وام گرفته شده از محل سود ماهانه، اقساط وام را به کلی بازپرداخت کرد و پس از اتمام اقساط، اصل مبلغ وام را به تمامی در تملک درآورد.
مثال: شخصی وام ۱۰۰میلیون ریالی با نرخ بهره ۲۰درصد، ۱۷ساله دریافت نموده است و آن را در سپرده بلندمدت با نرخ بهره ۱۶درصد، سپرده‌گذاری کرده است. مبلغ اقساط وام طبق فرمول متداول در ایران عبارت است از:
از طرف دیگر با سپرده‌گذاری صد‌میلیون ریال در سپرده بلندمدت با نرخ بهره 16درصد،
عدد حاصل از مبلغ اقساط ماهانه بزرگ‌تر است.
پس با دریافت هر یک از سودهای ماهانه حساب بلندمدت، به راحتی مبلغ اقساط ماهانه تادیه می‌شود و پس از 17 سال که وام به تمامی بازپرداخت شد، شخص، مالک سپرده بلندمدت خود یعنی صد‌میلیون ریال نیز می‌باشد.
بنابراین فرمول فعلی استهلاک وام، می‌تواند منجر به هر یک از عوامل زیر شود:
* ایجاد فرصت آربیتراژ (1)
* نفی مساله استقراض به جهت استفاده از پول در بخش‌های تولیدی، صنعتی
* متضرر شدن بانک‌ها به‌رغم بالا رفتن حجم سپرده‌های بانکی
* ایجاد صفوف طویل دریافت تسهیلات و در نتیجه جلوگیری از دسترسی نیازمندان حقیقی به تسهیلات
بدون شک مثال‌های فوق این بینش را به خواننده محترم داده است که در نحوه محاسبه سود کل وام و یا به طور کلی در روش استهلاک وام، اشکالی نهفته است. واقعیت نیز چنین است و در اینجا برای درک آن اشکال، نخست به بازبینی و درک اجزای فرمول سود کل و سپس نحوه محاسبه اقساط می‌پردازیم.
همچنانکه دیدیم در روش متداول در ایران
عدد 2400ظاهر شده در مخرج، از حاصل ضرب 12×100×2 به‌دست می‌آید.
عدد ۱۰۰ مربوط به درصد نرخ بهره و عدد ۱۲ مربوط، به ماهانه کردن نرخ بهره است. (نرخ بهره همواره به صورت سالانه بیان می‌شود). مثلا نرخ بهره ۲۴درصد، اگر در یک وام با اقساط ماهانه به کار بسته شود، باید به صورت اعمال شود که به وضوح برابر با است. پس می‌توان این فرمول را به صورت توصیف کرد که در آن، A اصل مبلغ وام، n تعداد اقساط، i نرخ بهره سالانه برحسب درصد است. برای توضیح دادن جملات (n+۱) صورت و ۲ مخرج، می‌توان به صورت شهودی این طور توضیح داد که مقدار متوسطی برای مبلغ وام در طول n دوره به دست آورده شده است. اما توضیح دقیق آن چنین است: اگر A اصل مبلغ وام، تعداد اقساط، n باشد، فرض بر این است که شخص در هر قسط، از اصل را بازپرداخت می‌کند. (در یک وام ده‌میلیون ریالی که با ده قسط بازپرداخت می‌شود، شخص در هر قسط، یک‌میلیون ریال از اصل را بازپرداخت کرده است). بنابراین در اولین ماه که کل پول بانک (مثلا ده‌میلیون ریال) نزد مشتری بوده، باید سود یک ماهه را برای کل پول منظور کرد. مثلا با نرخ بهره ۲۴درصد:
اما سود ماه دوم، قدری کمتر است. زیرا مفروض است که مشتری با قسط اول، (یک‌میلیون ریال) از اصل را بازپرداخت کرده و مانده وام نزد او برابر با * فرمو (نه‌میلیون ریال) است پس باید سود یک ماهه این مبلغ را دریافت کرد:
۰
به همین ترتیب مانده از اصل وام نزد مشتری در ماه سوم برابر با فرمول (هشت‌میلیون ریال) است و:
1
این کار را تا آخر می‌توان ادامه داد و سود کل را از جمع کردن این مقادیر به دست آورد:
۲
مبلغ هر قسط بابت فرع قسط بابت اصل تعداد اقساط سود کل
اصل وام
گرچه این روش منطقی به نظر می‌رسد اما در واقع ایرادی در آن نهفته است: سود کل را نمی‌توان به تساوی بین اقساط تقسیم نمود. زیرا به طوری که دیدیم سود هر قسط براساس مبلغی از اصل که نزد مشتری باقی مانده است محاسبه می‌شود و چون این مبلغ در حال کاهش است پس سود هر قسط نیز باید در حال کاهش باشد و حال آنکه تقسیم کردن سود کل به تعداد اقساط باعث می‌شود که همواره مبلغ ۱۱۰۰۰۰ریال در هر قسط بابت سود پرداخت شود. دیدیم که در اولین ماه، سود ماه اول مبلغ ۲۰۰۰۰۰ریال بود و به این ترتیب مشتری در ماه اول ۹۰۰۰۰ریال کمتر بابت سود می‌دهد. در ماه دوم سودی که باید پرداخت می‌شد ۱۸۰۰۰۰ریال بود که مشتری با پرداخت ۱۱۰۰۰۰ریال، ۷۰۰۰۰ریال کمتر بابت سود پرداخت کرده است. در عوض در ماه‌های آخر وضعیت به عکس است. یعنی سود ماه آخر ۲۰۰۰۰ریال است و مشتری ۹۰۰۰۰ریال اضافی پرداخت می‌نماید. باید توجه کرد که این اعداد گرچه مبالغ یکسانی دارند. اما چون در زمان‌هایی متفاوت قرار دارند. ارزش‌های متفاوتی را با یکدیگر دارا می‌باشند:
در اولین ماه مشتری 90000ریال از سود بانک را باز پرداخت نکرده و در آخرین ماه 90000ریال اضافه‌تر پرداخت کرده، در طول این مدت، به مدت 10 ماه بانک را از این پول محرم کرده است. در واقع مثل این است که بانک یک وام قرض‌الحسنه (بدون سود) به مبلغ 90000ریال به شخص داده و شخص آن را 10 ماه بعد بازپرداخت کرده است.
همین اتفاق در ماه دوم و ماه نهم رخ می‌دهد. در ماه دوم مشتری ۷۰۰۰۰ریال از سود بانک را پرداخت نکرده و در عوض در نهمین ماه، ۷۰۰۰۰ریال اضافه سود داده است. باز مانند این است که بانک در انتهای ماه دوم ۷۰۰۰۰ریال وام قرض‌الحسنه به مشتری داده که مشتری آن را در ماه نهم بازپرداخت کرده است.
جمع این وام‌های قرض‌الحسنه به خصوص در دراز مدت (مثال ما وام ناچیزی با مدت زمان کوتاه بود)، منجر به متضرر شدن بانک می‌شود و همان عاملی است که اختلاف بین مبلغ دریافتی و پرداختی بانک در تسهیلات و سپرده را موجب می‌شود.
حال که دید مناسبی از نحوه کارکرد و ایرادهای منطقی و ریاضی نهفته در روش متداول در بانک‌های ایران پیدا کرده‌ایم به بررسی روش متداول در عرصه بین‌المللی و روشی که در تمامی کتب مالی از آن به عنوان فرمول استهلاک وام یاد می‌شود، می‌پردازیم. در این روش، اساس کار این است که فرصت‌های آربیتراژ یاد شده از بین برود و بانک، معادل آنچه که در مبالغ مساوی، خود باید به سپرده‌گذاران پرداخت کند، از وام‌گیرندگان دریافت نماید.
3
در طرف چپ تساوی ارزش آتی مبلغ A که با نرخ بهره i، در حال دریافت سود ماهانه است به چشم می‌خورد و در واقع محاسبه شده است که اگر سپرده‌گذاری مبلغ A را با این نرخ بهره در بانک بگذارد، پس از n ماه چه اصل و سودی را دریافت خواهد کرد. در طرف راست تساوی، نیز ارزش آتی اقساط ماهانه هر یک به مبلغ PMT به دست آمده است.
برای درک عبارت طرف راست کافی است فرض کنیم شخص ماهانه مبلغ PMT را به حساب سپرده خود نزد بانکی که با نرخ بهره i به سپرده‌ها سود ماهانه می‌دهد واریز نموده است. پس از گذشت n ماه این مبالغ همراه با سودهای آن مجتمع بر مبلغ زیر خواهند شد:
4
مساوی قراردادن این مبالغ (دو طرف تساوی) با این قصد انجام شده است که ارزش آتی هر آنچه که بانک به مشتری داده، مساوی با ارزش آتی هر آنچه مشتری به بانک داده پرداخته بشود تا فرصت هر گونه آربیتراژی برای هر دو طرف از بین برود.
فرمول فوق که در بسیاری از کشورها به کار می‌رود، متضمن اصل عدالت و مساوات است به این معنی که در زمان اتمام اقساط، اصل و سود وام واقعا برابر با اصل و سود اقساط داده شده از طرف مشتری است.
نکته دیگری که در این روش قابل توجه است این است که مشکل مربوط به عدم بازپرداخت سود هر ماه که در روش متداول در ایران مطرح بود، در اینجا منتفی است. چرا که در روش بین‌المللی، در هر قسط، ابتدا سود آن ماه محاسبه و از روی قسط کسر می‌شود و مابقی مبلغ قسط به استهلاک اصل اختصاص داده می‌شود. گفتنی است: در روش متداول در ایران نیز مبلغ اقساط این گونه حساب می‌شد که:
سود مربوط به آن ماه + مبلغ تقسیم شده اصل بر تعداد اقساط = مبلغ قسط هر ماه
در این صورت مشکلی ایجاد نمی‌شد و نرخ بهره اعلام شده نرخ بهره واقعی بود. ولی لازمه آن، این بود که مشتری در اولین قسط بیشترین مبلغ و بعد به تدریج مبالغ کمتری بدهد. مثلا در همان مثال وام ده‌میلیون ریالی با نرخ بهره 24درصد ده ماهه باید می‌داشتیم:
۵
اما از آنجا که معمولا برای مشتری، سهل و مطلوب نیست که بیشترین مبلغ قسط را در اولین ماه بدهد لذا اینها را با هم جمع کرده، به تساوی بین اقساط تقسیم کرده‌اند که این امر باعث بروز مشکل یاد شده می‌گردد.
در روش بین‌المللی چنین مشکلی وجود ندارد. در مثال زیر نحوه دریافت سود هر ماه و متعاقبا نحوه استهلاک اصل را پی می‌گیریم:
مثال: یک وام ده‌میلیون ریالی با نرخ بهره ۲۴درصد را ده ماه در نظر بگیریم و این بار از فرمول بین‌المللی استفاده کنیم. داریم:
6
با واریز شدن دومین قسط این سود از آن کم می‌شود و باقیمانده قسط (951930= 181330 - 1133260 ) به استهلاک اصل اختصاص داده می‌شود و همین روند تا انتها ادامه پیدا می‌کند. نکته قابل توجه این است که در این روش، همواره مانده بدهی شخص به بانک، تنها بابت اصل است و به خلاف روش متداول در بانک‌های ایران هیچ‌گاه بدهی بابت سود باقی نمی‌ماند. بنابراین این روش با بانکداری اسلامی که همواره در آن تاکید بر این بوده است که از مانده سود نباید سود دریافت کرد مطابقت کامل دارد. نکته دیگر این که اگر مجموع ارزش حال اقساط پرداخت شده را با همان نرخ بهره وام به دست بیاوریم. دقیقا ارزش حال آنها برابر با مبلغ امروزی وام خواهد بود و این نکته‌ای است که در روش قبلی صدق نمی‌کند. در مثال زیر خواهیم دید که مجموع ارزش حال اقساط پرداخت شده در روش ایران کمتر از اصل مبلغ وام است.
مثال: وام ده‌میلیون ریالی با نرخ بهره ۲۴درصد با ۱۰قسط ماهانه، در روش متداول در ایران مبلغ اقساطی معادل ۱۱۱۰۰۰۰ریال و در روش بین‌المللی ۱۱۳۳۲۶۰ریال به دست داد. ارزش حال این مبالغ را به دست می‌آوریم. روش ایران:
7
۸
همان طور که انتظار می‌رفت نرخ بهره اعلام شده در روش متداول در ایران، نرخ واقعی نبود و اگر اقساط را به زمان حال تنزیل کنیم، مشاهده می‌شود که بانک حتی اصل مبلغ وام را هم دریافت نمی‌کند. در حالی که در روش بین‌المللی اقسط به گونه‌ای تنظیم می‌شوند که دقیقا ارزش حال آنها برابر با اصل مبلغ وام است. حال توجه خود را به این پرسش جلب می‌کنیم که در روزهای اخیر مطرح می‌شود و آن این است که نرخ بهره i در سیستم متداول در ایران معادل با چه نرخ بهره‌ای در روش بین‌المللی است. برای پاسخ به این پرسش، مبلغ وام را A، تعداد اقساط را با n و مبلغ اقساط را PMT و نرخ بهره در روش اول را با ۱ i و در روش بین‌المللی را با ۲ i نمایش می‌دهیم. منظور از معادل بودن دو نرخ بهره احتمالا این است که هر دو محاسبه، منجر به یک مبلغ قسط شود، یعنی:
9
A از طرفین این معادله ساده می‌شود و تنها متغیرها، تعداد اقساط (n)، نرخ بهره در روش فعلی ایران ( 1 i ) و نرخ بهره در روش بین‌المللی
(۲ i ) باقی می‌مانند. پس باید توجه داشت که تعداد اقساط نیز در تبدیل این نرخ‌ها به یکدیگر موثرند و نمی‌توان بدون ذکر تعداد اقساط وام این تبدیل را انجام داد. با حل کردن این معادله می‌توان ۱ i را برحسب ۲ i یا به عکس،
به دست آورد. مثال‌های زیر از همین رابطه حل شده اند:
مثال۱: نرخ بهره ۲۴درصد در روش متداول فعلی برای یک وام ۵ ساله با چه نرخ بهره‌ای در روش بین‌المللی معادل است:
0
با حل این معادله، مقدار 2 i برابر با 5/20درصد به دست می‌آید.
مثال۲: اگر بانک‌ها از روش بین‌المللی استفاده کنند، نرخ بهره ۱۴درصد برای وام ۵ساله معادل کدام نرخ بهره با روش قبلی است؟
این بار 2 i را داریم و برای یافتن 1 i دوباره از همان معادله استفاده می‌کنیم:
۱
یافتن ۱ i از این معادله، ساده است و تنها نیاز به محاسبه عبارت سمت راست دارد. با انجام این محاسبه به دست می‌آید: ۶/۱۵درصد= ۱ i
آخرین موضوعی که در این نوشته به آن می‌پردازیم، ارائه پیشنهاد برای نرخ بهره‌ای است که اگر برای وام‌ها به کار بسته شود با فرض
به کار بستن روش بین‌المللی، فرصت آربیتراژ و امکان ضرر و زیان برای بانک‌ها از بین می‌برد.
مبنای این محاسبه این است که مبلغ وام گرفته شده را در حساب بلندمدت گذارده و سود آن را به حساب کوتاه‌مدت واریز کنیم. دارایی تشکیل شده از این راه را در طول مدت وام محاسبه نماییم و بعد به دست می‌آوریم که ارزش حال این دارایی، با چه نرخ تنزیلی برابر با اصل مبلغ وام می‌شود:
۲
به عنوان مثال در بانکی که به حساب‌های بلندمدت ۵ساله، سود ۱۶درصد و به حساب‌های کوتاه‌مدت سود ۷درصد پرداخت می‌شود، نرخ بهره‌ای که در یک وام ۵ساله بانک و مشتری را با یکدیگر بی‌حساب می‌کند، از رابطه فوق چنین به دست می‌آید.
3
جمع بندی:
آنچه که از این نوشته استنتاج می‌شود را می‌توان به شرح زیر خلاصه نمود:
* روش فعلی متداول در ایران، به گونه‌ای است که ارزش واقعی اقساط پرداخت شده، کمتر از اصل مبلغ وام است و به همین سبب بانک‌ها را بازیانی بالقوه مواجه می‌کند.
* این روش سبب می‌شود که عایداتی که از محل سپرده‌گذاری مبلغ وام گرفته شده در حساب‌های بانکی عاید مشتری می‌شود، در شرایطی، حتی بیش از مبلغ اقساط شود و لذا فرصت آربیتراژی در اختیار مشتریان قرار می‌گیرد.
* به دلیل وجود همین روش است که تقاضا برای دریافت تسهیلات بسیار بالا است که خود، گاه منجر به عدم توزیع عادلانه تسهیلات بانکی می‌شود.
پاورقی
1 - منظور از آربیتراژ، ورود به بازار با موجودی صفر و خروج از آن با موجودی مثبت بدون تحمل ریسک است.
منبع: www.rastak.com
ارسال نظر