میرون شولز و رابرت مرتون

مهدی محمدی

بخش نخست

میرون شولز

فیشر بلاک، رابرت مرتون و میرون شولز با توسعه روش جدید تعیین ارزش مشتقات کمک شایانی به پیشرفت اقتصاد کردند. کار نوآورانه آنها در اوایل دهه ۱۹۷۰ مساله طولانی در اقتصاد مالی را حل نمود و روش‌های جدیدی را در ارتباط با ریسک مالی در نظریه و عمل فراهم نمود. روش‌های آنها به رشد سریع بازارها برای مشتقات طی دو دهه گذشته کمک شایانی کرده است. فیشر بلاک در سال ۱۹۹۵ در گذشت، از این رو جایزه نوبل سال ۱۹۹۷ به مرتون و شولز تعلق گرفت. شولز متولد سال ۱۹۴۱ در ایالت اونتاریوی کانادا است و در سال ۱۹۶۸ دکترای اقتصاد خود را از دانشگاه شیکاگو دریافت کرد وبه تدریس و تحقیق در دانشگاه‌های آمریکا مشغول شد. مرتون نیز در سال ۱۹۴۴ در نیویورک متولد شد و دکترای خود را ابتدا در رشته ریاضی دنبال کرد، ولی بعد به اقتصاد تغییر رشته داد.

کار مرتون، شولز و بلاک فراتر از قیمت‌گذاری مشتقات بوده است. در حالی که اغلب اوراق اختیاری با ماهیت مالی هستند، اما برخی قراردادها و تصمیمات اقتصادی را نیز می‌توان به شکل اختیارات نگاه کرد، برای مثال سرمایه‌گذاری در ساختمان و ماشین‌آلات ممکن است فرصت‌ها(اختیاراتی) را برای توسعه به بازارهای جدید در آینده فراهم کند. از این‌رو روش‌شناسی آنها برای حیطه گسترده‌ای از کاربردها قابل استفاده بوده است.

تاریخچه ارزش‌گذاری اختیار

اوراق اختیار به عاملان اجازه می‌دهد تا در مقابل ریسک یک‌جانبه محافظت شوند، در واقع این تنها حق است و تعهدی ندارد که قلم مورد نظر را در قیمت از پیش تعیین شده خرید و فروش کند. برای مثال یک شرکت واردکننده انگلیسی پیش‌بینی می‌کند که پرداخت‌های زیادی در واحد‌دلار آمریکا در آینده باید انجام دهد، از این رو خود را در برابر ریسک یک‌جانبه زیان‌های بزرگ ناشی از کاهش ارزش پوند انگلیس با خرید اوراق اختیار برای‌دلار در بازار اختیارهای ارز خارجی محافظت کند.

تلاش‌ها برای ارزش‌گذاری اختیارها و سایر مشتقات تاریخچه طولانی دارد. یکی از اولین کارها برای تعیین ارزش اختیارات سهام توسط لوئیس باچلیر در سال ۱۹۰۰ در سوربن صورت گرفت. فرمول او مبتنی بر مفروضات غیرواقع‌بینانه‌ای بود که نرخ بهره صفر و فرآیندی با قیمت منفی را در بر می‌گرفت. این فرمول بعدا توسط اسپرنکل، بونس و ساموئلسون بهبود یافت. آنها فرض منفی شدن قیمت‌ها و صفر بودن نرخ بهره را اصلاح کردند. آنها همچنین فرض کردند که سرمایه‌گذاران ریسک‌گریز بوده و برای ریسک مبلغ اضافه‌ای درخواست می‌کنند. تلاش برای ارزش‌گذاری تا قبل از سال ۱۹۷۳ ارزش انتظاری اختیار سهام را در زمان انقضا تعیین می‌کرد و آن را برای سال مورد نظر تنزیل می‌کرد. چنین رویکردی مستلزم آن است که مبلغ اضافی برای ریسک نیز تنزیل گردد، چراکه ارزش اختیار به مسیر ریسکی قیمت سهام از روز ارزش‌گذاری تا تاریخ سر رسید بستگی دارد.

اما تعیین مبلغ اضافی برای ریسک چندان هم شفاف نیست. این مبلغ نه تنها باید منعکس‌کننده ریسک برای تغییرات در قیمت سهام باشد، بلکه بایستی نگرش سرمایه‌گذار به ریسک را نیز در نظر بگیرد. این مسائل توسط شولز، مرتون و بلاک با این شناخت که ضرورتی برای استفاده از هیچ مبلغ اضافه‌ای برای ریسک در ارزش‌گذاری نیست، حل گردید. این بدان مفهوم نیست که این مبلغ حذف می‌شود، بلکه در قیمت سهام ترکیب نمی‌شود.

این ایده را می‌توان به‌صورت ساده زیر توضیح داد. برای مثال اوراق اختیار برای خرید سهم معینی در قیمت ۱۰۰‌دلار در سه ماه را در نظر بگیرید. واضح است که ارزش این اختیار به قیمت جاری سهام بستگی دارد، هر چه قیمت سهام بالاتر باشد این احتمال وجود دارد که در سه ماه فراتر از ۱۰۰‌دلار رود.

فرمول برای ارزش‌گذاری اختیار بایستی دقیقا تعیین کند چطور ارزش اختیار به قیمت جاری سهام بستگی دارد. میزان ارزش اختیار که با تغییر در قیمت جاری سهام تغییر می‌کند معروف به دلتا است. فرض کنید که وقتی قیمت جاری سهام ۲‌دلار بالا (پایین) رود، ارزش اختیار ۱‌دلار افزایش (کاهش) می‌یابد. یعنی دلتا برابر نیم است. همچنین فرض کنید که سرمایه‌گذار دارای پرتفوی سهامی است که می‌خواهد در برابر ریسک تغییرات در قیمت سهام آن را محافظت کند. برای افزایش‌های کوچک در قیمت سهام، سود سرمایه‌گذار با پرتفوی بدون ریسک در سهام همانند خسارتی است که از اختیارات متحمل می‌شود و بالعکس. با توجه به اینکه پرتفوی سرمایه‌گذار بدون ریسک است، بازدهی آن باید برابر اوراق خزانه سه ماهه بدون ریسک باشد و اگر‌ غیر‌این باشد، معاملات آربیتراژ برای حذف سودهای بدون ریسک صورت خواهد گرفت.

با تغییرات در قیمت سهام در طول زمان و نزدیک شدن به سررسیدها، دلتای اختیار نیز تغییر می‌کند. به منظور حفظ پرتفوی سهام - اختیار بدون ریسک لازم است که سرمایه‌گذار ترکیب پرتفو را تغییر دهد. مرتون و شولز فرض کردند که چنین مبادله‌ای می‌تواند به طور مداوم و بدون هزینه معاملات صورت ‌گیرد. شرط اینکه بازدهی پرتفوی سهام - اختیار بدون ریسک به نرخ حالت بدون ریسک در هر نقطه از زمان برسد، اشاره ضمنی به معادله دیفرانسیل جزئی دارد که راه‌حل فرمول بلاک-شولز برای اختیار است:

بر طبق فرمول فوق، ارزش اختیار به اختلاف بین قیمت انتظاری سهام (جمله اول سمت راست) و هزینه انتظاری (جمله دوم) بستگی دارد. در صورتی که قیمت جاری سهام، نوسان قیمت سهام، نرخ بهره بدون ریسک بالا باشد و زمان سررسید طولانی‌تر و قیمت اوج پایین‌تر و احتمال اعمال اختیار بالاتر باشد (این احتمال تحت بی‌تفاوتی به ریسک با تابع توزیع نرمال استاندارد ارزیابی می‌شود) ارزش اختیار بالا خواهد رفت.

تمامی پارامترها به جز زیگما در معادله قابل مشاهده است و آن هم باید از داده‌های بازار تخمین زده شود. در مقابل، اگر قیمت اختیار معلوم باشد، می‌توان فرمول را برای تخمین زیگما حل کرد. فرمول قیمت‌گذاری اختیار بعد از بلاک و شولز نامگذاری شد، چون آنها نخستین افراد در استخراج آن بودند. آنها نتایج خود را بر مبنای مدل قیمت‌گذاری دارایی سرمایه‌ای قرار دادند. آنها برای کار روی مقاله ۱۹۷۳ به شدت تحت تاثیر مرتون بودند. البته مرتون تعمیم‌های مهمی را اندیشید که تعادل بازار را برای ارزش‌گذاری اختیار لازم ندانست و تنها عدم وجود فرصت‌های آربیتراژ را کافی دانست. روشی که در مثال بالا توضیح داده شد دقیقا در شرایط عدم وجود آربیتراژ است که به ارزش‌گذاری سایر انواع مشتقات نیز تعمیم می‌یابد. مقاله ۱۹۷۳ مرتون نیز فرمول بلاک-شولز و برخی تعمیم‌ها از قبیل نرخ بهره احتمالی را در خود داشت. فرمول قیمت‌گذاری اختیار راه‌حل مساله‌ای هفتاد ساله بود و از اهمیت علمی خاصی برخوردار است. اهمیت اصلی کار مرتون و شولز به نقش نظری و کاربردی روش تحلیل آنها بازمی‌گردد. این اهمیت به قیمت‌گذاری اوراق مشتقه و ارزش‌گذاری در سایر موراد نیز گسترش یافت.

ادامه دارد

رابرت مرتون