مسیر محاسبه سود اسناد خزانه

شاخص‌های متفاوتی از جمله ریسک، بازده و نقدشوندگی، کیفیت سرمایه‌گذاری را تعیین می‌کنند؛ اما شاید بتوان بازدهی را مهم‌ترین این معیارها دانست. در این شرایط، محاسبه نرخ سود مربوط به اسناد خزانه اسلامی که یکی از مهم‌ترین ابزارهای مورد نیاز اقتصاد کشور است با اختلاف‌های زیادی میان کارشناسان مواجه است. هرچند برخی معتقدند باید نرخ بازدهی را به صورت ساده محاسبه کرد؛ اما بررسی اصول و تئوری مربوط به اوراق با درآمد ثابت نشان می‌دهد نرخ بازدهی مرکب روش صحیح و قابل استنادتری برای محاسبه نرخ سود اسناد خزانه اسلامی است. ایراد اصلی که می‌توان به روش خطی ساده وارد کرد آن است که در این روش، بازدهی سرمایه‌گذار در طول دوره سرمایه‌گذاری تغییر می‌کند که برای اصلاح آن به نرخ سود مرکب نیاز داریم.

علیرضا توکلی کاشی/ مدیرابزارهای نوین مالی
معصومه شهسواری/ کارشناس ابزارهای نوین مالی
فرابورس ایران

مقدمه
کیفیت سرمایه‌گذاری به عوامل متعددی وابسته است و شاخص‌های متفاوتی به منظور ارزیابی عملکرد سرمایه‌گذاری تعریف شده‌‌‌‌اند. به‌عنوان مثال می‌توان به شاخص‌های ریسک، بازده، نقدشوندگی، تنوع و بتا اشاره کرد. در میان شاخص‌های نامبرده، بازده از اهمیت بسزایی برخوردار است. زیرا بازده در ادبیات روزمره مردم بسیار مورد استفاده قرار می‌گیرد و معمولا فرصت‌های مختلف سرمایه‌گذاری را بر مبنای مقایسه مقدار بازده آنها با یکدیگر مورد سنجش قرار می‌دهند.

در حوزه سرمایه‌گذاری و به‌طور ویژه در حوزه اوراق بهادار بادرآمد ثابت (Fixed Income Securities)، از آنجا که در ایران، بیشتر اوراق دارای ضامن بانکی هستند و در نتیجه ریسک نکول یا عدم پرداخت آنها در سررسیدها به‌طور کامل پوشش داده شده است؛ بازده، مهم‌ترین‌ معیار برای انتخاب اوراق توسط یک سرمایه‌گذار است.

با توجه به اینکه «مثال» نقش بسزایی در انتقال مطلب ایفا می‌کند، در این مقاله تلاش شده تا همه موضوعات تا حد امکان در قالب مثال‌هایی ارائه شوند.

بازده ساده

روش‌های متفاوتی برای محاسبه بازده وجود دارد. ساده‌ترین روش، استفاده از فرمول بازده ساده است. همان‌طور که در فرمول زیر مشاهده می‌شود، اختلاف قیمت خرید و فروش نسبت به قیمت خرید سنجیده می‌شود:

مثال 1

شخصی را در نظر بگیرید که در ابتدای سال در اوراقی با ارزش اولیه ۱۰۰ تومان سرمایه‌گذاری کرده است. چنانچه ارزش این سرمایه‌گذاری در پایان سال اول ۱۱۰تومان و در پایان سال دوم ۱۳۲ تومان ‌باشد، طبق فرمول فوق به سادگی می‌توان بازده وی را در هر دوره محاسبه کرد.

اگر کمی به این مثال دقت کنیم متوجه می‌شویم که مجموع بازده دو دوره متوالی فوق، 30 درصد به‌دست می‌آید اما از طرف دیگر به نظر می‌رسد با توجه به رشد قیمت از 100 به 132 واحد، بازده کل دوره باید رقم 32 درصد باشد!

علت این موضوع، این است که مقدار دارایی در اول هر دوره برابر مقدار دارایی در پایان دوره قبل است و بنابراین اصل و سود دارایی در پایان هر دوره وارد دوره بعد می‌شود و به اصل و سود منتقل‌شده از دوره قبل مجددا سود تعلق می‌گیرد.

این ماهیت فرمول بازده است، زیرا مثلا در نمونه فوق و در ابتدای دوره دوم نمی‌توانیم مقدار 110 واحد را به دو رقم 100 به‌عنوان اصل مبلغ و 10 واحد به‌عنوان سود دوره قبل، تجزیه کنیم و کل مبلغ 110 واحد به‌عنوان مقدار اولیه سرمایه‌گذاری وارد دوره دوم می‌شود.

اما موضوع فوق به معنای وجود اشکال در محاسبه بازده نیست! زیرا بازده صحیح هریک از دوره‌های فوق به ترتیب 10 درصد و 20 درصد است، اما بازده کل دوره رقم 30 درصد نیست و مقدار صحیح بازده کل دوره 32 درصد است.

ترکیب بازده

در ادبیات مالی، برای محاسبه برآیند بازده کل دو یا چند دوره متوالی از فرمول ترکیب بازده یا بازده مرکب (Compound Return) استفاده می‌شود.

با استفاده از فرمول فوق می‌توانیم به بازده کل دوره در مثال قبل دست یابیم:

مساله فوق که در ادبیات مالی بسیار حائز اهمیت است به این نکته اشاره دارد که جمع جبری بازده، برای محاسبه بازده کل چند دوره متوالی صحیح نیست و برای محاسبه برآیند بازده چند دوره متوالی باید از ترکیب بازده و فرمول بازده مرکب استفاده کرد.

مثال 2

دو ورقه بهادار در دست داریم که قیمت هر دو ورقه در ابتدای سال ۱۰۰ واحد و در پایان سال نیز قیمت آنها به ۱۲۰ واحد خواهد رسید. آن طور که از صورت سوال‌ قابل درک است، بازده هر دو ورقه ۲۰ درصد است. در جدول زیر با توجه به قیمت ماه ششم، بازده دو دوره محاسبه شده است:

مثال فوق، به خوبی نشان می‌دهد که جمع جبری نه تنها بازدهی متفاوت با مقدار واقعی بازده کل دوره (20 درصد) به دست می‌دهد، بلکه مقدار آن به نوسان قیمت‌های طی دوره نیز وابسته است.

قیمت‌گذاری اوراق بهادار با درآمد ثابت

اگر مقدار بازده اوراقی مشخص باشد، چگونه می‌توانیم قیمت آن را در زمان‌های مختلف محاسبه کنیم و فرمول صحیح قیمت‌گذاری اوراق با درآمد ثابت (Fixed Income Pricing) چگونه باید باشد؟ هدف از ارائه این بخش در این مقاله، تاکید بر محاسبات سود مرکب و بیان نقایص محاسبات سود بر مبنای فرمول‌های ساده و خطی است.

مثال ۳

اوراقی با قیمت اسمی 1،000،000ریال و نرخ سود 20 درصد که یک بار در سال سود پرداخت می‌کند را در نظر بگیرید.

این اوراق دارای سود روزشماری خواهد بود. یک راه ساده برای محاسبه سود روزشمار این اوراق، تقسیم سود سالانه بر تعداد روزهای سال است:

بنابراین جدول شماره ۱ سود روزشمار و قیمت این اوراق به همراه نرخ رشد قیمت اوراق در روزهای مختلف سال به ترتیب زیر به‌دست خواهد آمد:

روش فوق که به روش خطی ساده معروف است، باوجود سادگی محاسبات، یک ایراد اساسی دارد و آن عدم ثبات نرخ رشد قیمت در طول سال، به‌رغم ثابت بودن مقدار سود روزانه است! اگر به ستون نرخ رشد قیمت روزانه دقت شود، کاهش تدریجی نرخ رشد روزانه به وضوح مشاهده می‌شود.

سوالی که در اینجا مطرح می‌شود این است که چرا این بازدهی طی سال ثابت نبوده و به تدریج کاهش یافته است؟

علت کاهش تدریجی نرخ رشد روزانه، افزایش مخرج کسر بازده است. زیرا با گذشت زمان و تجمیع سودهای روزشمار، قیمت اوراق به تدریج افزایش یافته و مخرج کسر بازده بزرگ‌تر می‌شود و در نتیجه مقدار بازده یا نرخ رشد روزانه کاهش می‌یابد.

بازدهی شخصی که در روزهای اول سال در این اوراق سرمایه‌گذاری می‌کند بیشتر از فردی است که در روزهای پایانی سال این اوراق را نگهداری می‌کند. زیرا مبلغ سرمایه‌گذاری در این ایام متفاوت است، کسب عایدی ثابت ۵۴۸ ریال در روز اول نسبت به مبلغ سرمایه‌گذاری ۱.۰۰۰.۰۰۰ ریال و در روز دوم با مبلغ ۱.۰۰۰.۵۴۸ ریال سنجیده می‌شود. با رشد تدریجی قیمت، مخرج کسر بازده افزایش می‌یابد، این در حالی است که صورت کسر رقم ثابت ۵۴۸ ریال است؛ بنابراین طبیعی است که مقدار بازده روزانه کاهش یابد. استفاده از روشی که در آن مقدار سود در طول دوره ثابت فرض شده باشد، نمی‌تواند روش صحیحی برای قیمت‌گذاری اوراق با درآمد ثابت باشد، زیرا نرخ بازده آن در طول دوره یکنواخت نبوده و به تدریج و با گذشت زمان، کاهش خواهد

یافت.

چنانچه قیمت‌گذاری در بازار به این شیوه انجام شود، سرمایه‌گذاران آگاه تلاش می‌کنند تا اوراق را صرفا در روزهای ابتدایی هر دوره خریداری کرده و در اواسط دوره و قبل از کاهش نرخ بازده، آن را با اوراق دیگری تعویض کنند.

مثال فوق به‌خوبی به ما نشان می‌دهد که:

روش خطی ساده، روش مناسبی برای قیمت‌گذاری اوراق و محاسبه سود روزشمار نیست. زیرا سرمایه‌گذار انتظار دارد در صورت ثبات شرایط و ثابت بودن نرخ سود، بازده وی در طول دوره سرمایه‌گذاری ثابت باشد. به عبارت دیگر مستقل از اینکه در روز اول در این اوراق سرمایه‌گذاری شود یا در روز آخر، بازده به دست آمده باید مقدار ثابتی باشد.

اما سوالی که مطرح می‌شود این است که در این مثال، قیمت روزانه اوراق، چه رقمی است تا نرخ بازده در تمام روزهای سال برابر باشد؟

فرمول قیمت‌گذاری مرکب، ما را به این هدف می‌رساند. این فرمول به شرح زیر است:

با استفاده از فرمول قیمت‌گذاری مرکب، قیمت روزانه را محاسبه می‌کنیم. برای مثال قیمت این اوراق در پایان روز اول برابر خواهد بود با:

چنانچه مثال قبل را با فرمول قیمت‌گذاری مرکب، قیمت‌گذاری کنیم به جدول ۲ خواهیم رسید:

همان‌گونه که در جدول ۲ مشخص است، در این مدل قیمت‌گذاری، نرخ رشد روزانه در تمام طول سال ثابت است اما مقدار سود روزانه به‌صورت تدریجی افزایش یافته است و با توجه به رشد تدریجی قیمت، افزایش تدریجی مقدار سود روزانه نیز کاملا طبیعی و در حد انتظار است.

همان‌طور که در این جدول نیز مشاهده می‌شود، با استفاده از روش قیمت‌گذاری مرکب، قیمت‌ها به نحوی تعیین می‌شوند تا بازده سرمایه‌گذاری در تمام طول عمر اوراق به‌صورت همگن تخصیص یابد.

بنابراین فرمول قیمت‌گذاری مرکب تضمین می‌کند که قیمت‌های روزانه به نحوی محاسبه خواهند شد که نرخ رشد روزانه در طول دوره ثابت بماند. این موضوع در بازارهای مالی از اهمیت بسزایی برخوردار است زیرا سرمایه‌گذاران مختلف مستقل از تاریخ انتشار، تاریخ سررسید یا تاریخ پرداخت کوپن سود، بر مبنای نرخ بازده (و ریسک) اوراق، اقدام به انتخاب و سرمایه‌گذاری در اوراق می‌کنند و مدل قیمت‌گذاری باید به نحوی باشد که ثبات نرخ سود طی دوره را تضمین کند، به گونه‌ای که نرخ سود همواره همگن باشد.

البته همان‌طور که می‌دانیم، قیمت اوراق بهادار در بازارهای مالی، علاوه بر نرخ سود اسمی، به دو عامل مهم دیگر هم وابسته هستند: نرخ سود مورد انتظار بازار و میزان ریسک اوراق و ناشر آن. محاسبات فوق، با فرض ثبات شرایط و یکسان بودن نرخ سود اسمی اوراق و نرخ سود مورد انتظار بازار انجام شده است. در شرایطی که پارامترهای فوق نیز وارد محاسبات شوند، می‌توان ثابت کرد که مدل قیمت‌گذاری اوراق تغییر نخواهد کرد و همین فرمول قیمت‌گذاری مرکب، صرفا با تغییر مقدار R (نرخ بازده سالانه) مجددا به‌کار گرفته خواهد شد.

نرخ بازده تا سررسید YTM

در بازارهای مالی، نرخ سود مورد انتظار به‌عنوان یک متغیر کلیدی در جریان معاملات روزانه و با توجه به قیمت انواع اوراق بهادار کشف می‌شود. نرخ بازده تا سررسید، نرخی است که در صورت نگهداری اوراق تا زمان سررسید، برای دارنده آن محقق خواهد شد. با توجه به تفاوت فاصله تا سررسید اوراق مختلف و به منظور مقایسه این نرخ در مورد اوراق مختلف، این نرخ به‌صورت سالانه محاسبه شده و اعلام می‌شود. از آنجا که تاریخ سررسید اوراق و همچنین مبلغ قابل پرداخت در سررسید هر اوراقی ثابت است، بنابراین، نرخ بازده تا سررسید تنها تابع قیمت روز اوراق در بازار خواهد بود و هیچ مؤلفه دیگری در آن تاثیرگذار نخواهد بود. به همین دلیل این نرخ در بازارهای مالی محاسبه شده و به‌صورت عمومی کنش داده می‌شوند. بر خلاف بازده دوره نگهداری (HPR: Holding Period Return) که شاخصی گذشته‌نگر است و نرخ بازده را در گذشته نشان می‌دهد،

YTM‌ (Yield To Maturity) شاخصی آینده‌نگر است.

مثال 4

اوراقی را که مبلغ اسمی آن ۱.۰۰۰.۰۰۰ ریال و دارای سود سالانه ۲۰ درصد است و کل سود نیز در پایان سال به سرمایه‌گذار پرداخت می‌شود در نظر بگیرید. در اواسط سال ( در روز صدوهشتادویکم) و در زمانی که ۱۸۴ روز تا سررسید آن باقی مانده است، قیمت این اوراق ۱.۰۹۴.۶۲۵ ریال خواهد بود. نرخ بازده تا سررسید این اوراق در روز صدوهشتادویکم چقدر است؟

بازده این اوراق تا سررسید برابر خواهد بود با:

برای سالانه کردن این بازده، می‌توان از فرمول ساده زیر استفاده کرد:

اگر با استفاده از فرمول فوق، نرخ بازده تا سررسید را به‌صورت سالانه محاسبه کنیم، خواهیم داشت:

اما چرا نرخ بازده تا سررسید رقم متفاوتی نسبت به نرخ سالانه 20 درصد به‌دست آمد؟

قبل از پاسخ به این سوال‌، اجازه دهید با استفاده از همین فرمول و برای تمام روزهای سال و مطابق قیمت روزانه محاسبه شده در جدول 2 نرخ بازده تا سررسید را در جدول شماره 3 محاسبه کنیم:

در کمال تعجب مشاهده‌ می‌کنیم، باوجود ثبات نرخ رشد روزانه، نرخ بازده تا سررسید ثابت نبوده و با نزدیک شدن به سررسید به تدریج کاهش یافته است. فرمول نرخ بازده تا سررسید سالانه ساده، فقط در روز اول دوره یکساله، رقم صحیح 20 درصد را به‌دست خواهد داد و در بقیه ایام سال به تدریج کاهش خواهد یافت و در فاصله یک روز تا سررسید، رقم 24/ 18 درصد را به‌دست خواهد داد!

برای رفع این مساله، از فرمول مرکب نرخ بازده تا سررسید استفاده می‌کنیم:

حال چنانچه با این فرمول، نسبت به محاسبه بازده تا سررسید اوراق در روزهای مختلف سال اقدام کنیم، نتایج جدول شماره 4 به دست خواهد آمد.

همان‌طور که در جدول شماره 4 مشاهده می‌شود، نرخ بازده تا سررسید با فرمول مرکب در طول سال ثابت بوده و همواره رقم 20درصد که نرخ سود سالانه اوراق بوده است را نشان می‌دهد.

بازده تقریبی

در کتب مالی، فرمول تقریبی زیر نیز برای محاسبه بازده تا سررسید سالانه ارائه شده است:

فرمول فوق در حقیقت همان فرمول بازده تا سررسید ساده است، که پیش‌تر ارائه شد، برخی بورس‌های دنیا نیز از این فرمول برای محاسبه بازده تا سررسید استفاده می‌کنند. فرمول فوق، یک تناسب ساده ریاضی است. اما علت استفاده از این فرمول چیست؟

یکی از دلایل استفاده از فرمول بازده تا سررسید ساده، سادگی محاسبات و استفاده از یک تناسب ساده به جای استفاده از فرمول‌های توان‌دار است.

اما یک دلیل مهم تر این است که از نظر ریاضی می‌توان نشان داد،اگر %5 >r باشد، حداکثر خطای فرمول تقریبی فوق برای دوره زمانی کمتر از یک سال، کمتر از 12/ 0 درصد ( معادل 0012/ 0) خواهد بود؛ بنابراین نتیجه آن با تقریب خوبی قابل قبول خواهد بود.

اگر فاصله تا سررسید دقیقا یک سال باشد، (t=365) هر دو فرمول عدد یکسانی را نشان می‌دهند، اما اگر فاصله تا سررسید، کمتر یا بیشتر از یک سال باشد، نتایج این دو فرمول از هم فاصله خواهند گرفت.